Cho \(\vec{u}=\vec{a}+3\vec{b}\) vuông góc với \(\vec{v}=7\vec{a}-5\vec{b}\) và \(\vec{x}=\vec{a}-4\vec{b}\) vuông góc với \(\vec{y}=7\vec{a}-2\vec{b}\). Khi đó góc giữa hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) bằng.
 | \(\left(\vec{a},\vec{b}\right)=75^\circ\) |
 | \(\left(\vec{a},\vec{b}\right)=60^\circ\) |
 | \(\left(\vec{a},\vec{b}\right)=120^\circ\) |
 | \(\left(\vec{a},\vec{b}\right)=45^\circ\) |
Chọn phương án B.
Theo đề bài ta có: $$\begin{eqnarray*}
\begin{cases}
\vec{u}\bot\vec{v}\\
\vec{x}\bot\vec{y}
\end{cases}&\Leftrightarrow&\begin{cases}
\vec{u}\cdot\vec{v}=0\\
\vec{x}\cdot\vec{y}=0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow&\begin{cases}
\left(\vec{a}+3\vec{b}\right)\cdot\left(7\vec{a}-5\vec{b}\right)=0\\
\left(\vec{a}-4\vec{b}\right)\cdot\left(7\vec{a}-2\vec{b}\right)=0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow&\begin{cases}
7\vec{a}^2+16\vec{a}\cdot\vec{b}-15\vec{b}^2&=0\\
7\vec{a}^2-30\vec{a}\cdot\vec{b}+8\vec{b}^2&=0
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow&\begin{cases}
7\vec{a}^2-15\vec{b}^2&=-16\vec{a}\cdot\vec{b}\\
7\vec{a}^2+8\vec{b}^2&=30\vec{a}\cdot\vec{b}
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow&\begin{cases}
\vec{a}^2&=2\vec{a}\cdot\vec{b}\\
\vec{b}^2&=2\vec{a}\cdot\vec{b}
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow&\begin{cases}
\left|\vec{a}\right|&=\sqrt{2\vec{a}\cdot\vec{b}}\\
\left|\vec{b}\right|&=\sqrt{2\vec{a}\cdot\vec{b}}
\end{cases}
\end{eqnarray*}$$Do đó: $$\begin{aligned}\cos\left(\vec{a},\vec{b}\right)&=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|}\\ &=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\sqrt{2\vec{a}\cdot\vec{b}}\cdot\sqrt{2\vec{a}\cdot\vec{b}}}=\dfrac{1}{2}.\end{aligned}$$Suy ra \(\left(\vec{a},\vec{b}\right)=60^\circ\).