Chọn phương án D.

• Hàm số \(y=\tan x+\sin\dfrac{7\pi}{12}\) xác định khi \(x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\).
• Hàm số \(y=\dfrac{1}{\sqrt{1-\cos x}}\) xác định khi \(\cos x\neq1\Leftrightarrow x\neq k2\pi\).
• Hàm số \(y=\cot2x\) xác định khi \(2x\neq k\pi\Leftrightarrow x\neq k\dfrac{\pi}{2}\).
• Hàm số \(y=\sqrt{1+\sin x}+\tan\dfrac{\pi}{12}\) xác định với mọi \(x\) vì \(\sin x\geq-1,\,\forall x\in\mathbb{R}\)

Vậy \(y=\sqrt{1+\sin x}+\tan\dfrac{\pi}{12}\) là hàm số cần tìm.