Chọn phương án A.

$$\begin{eqnarray*}
&\sin2x+\sqrt{3}\cos2x&=\sqrt{3}\\
\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}\sin2x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos2x&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\Leftrightarrow&\sin2x\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos2x\sin\dfrac{\pi}{3}&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\Leftrightarrow&\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}2x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\ 2x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}2x=k2\pi\\ 2x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x=k\pi\\ x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\end{array}\right.
\end{eqnarray*}$$
\(\blacksquare\) Với \(0<k\pi<\dfrac{\pi}{2}\Leftrightarrow0<k<\dfrac{1}{2}\): Ta thấy không có giá trị nguyên nào thỏa mãn.
\(\blacksquare\) Với \(0<\dfrac{\pi}{6}+k\pi<\dfrac{\pi}{2}\Leftrightarrow-\dfrac{1}{6}<k<\dfrac{1}{3}\): Ta thấy \(k=0\) là giá trị nguyên duy nhất thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\).