Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí \(A\) cách bờ biển \(BC=5\) km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí \(C\) cách \(B\) \(7\) km. Người gác hải đăng có thể chèo đò từ \(A\) đến vị trí \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(4\) km/h rồi đi bộ đến \(C\) với vận tốc \(6\) km/h.
Vị trí của điểm \(M\) phải cách \(B\) bao nhiêu km để người gác hải đăng đến \(C\) nhanh nhất?
 | \(0\) km |
 | \(\dfrac{14+5\sqrt{5}}{12}\) km |
 | \(2\sqrt{5}\) km |
 | \(7\) km |
Chọn phương án C.
Gọi \(x\) (km) là khoảng cách từ \(M\) đến \(B\) (\(0\leq x\leq7\)).
- \(AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{x^2+25}\)
- \(MC=7-x\)
Thời gian đi từ \(A\) đến \(C\) của người gác hải đăng là $$f(x)=\dfrac{AM}{4}+\dfrac{MC}{6}=\dfrac{\sqrt{x^2+25}}{4}+\dfrac{7-x}{6}$$
Ta có \(f'(x)=\dfrac{x}{4\sqrt{x^2+25}}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{6x-4\sqrt{x^2+25}}{4\sqrt{x^2+25}}\).
\(\begin{aligned}\text{Cho }f'(x)=0\Leftrightarrow&6x-4\sqrt{x^2+25}=0\\
\Leftrightarrow&\sqrt{x^2+25}=\dfrac{6x}{4}\\
\Leftrightarrow&x^2+25=\dfrac{9x^2}{4}\\
\Leftrightarrow&x=2\sqrt{5}.\end{aligned}\)
- \(f(0)=\dfrac{29}{12}\)
- \(f\left(2\sqrt{5}\right)=\dfrac{14+5\sqrt{5}}{12}\)
- \(f(7)=\dfrac{\sqrt{74}}{4}\)
Theo đó, giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) là \(\dfrac{14+5\sqrt{5}}{12}\), khi \(x=2\sqrt{5}\).
Vậy \(MB=2\sqrt{5}\) km.