Chọn phương án D.

Ta có \(x+y=2\Rightarrow y=2-x\). Khi đó $$\begin{aligned}
P&=\dfrac{x^3}{3}+x^2+(2-x)^2-x+1\\
&=\dfrac{x^3}{3}+2x^2-5x+5.
\end{aligned}$$
Theo đề ta có \(\begin{cases}
x\geq0\\
y=2-x\geq0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x\geq0\\
x\leq2
\end{cases}\).
Đặt \(f(x)=\dfrac{x^3}{3}+2x^2-5x+5\) với \(x\in[0;2]\).
Ta có \(f'(x)=x^2+4x-5\).
Cho \(f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}x=1 &\in[0;2]\\ x=-5 &\notin[0;2]\end{array}\right.\)

Vì \(f(0)=5\), \(f(1)=\dfrac{7}{3}\), \(f(2)=\dfrac{17}{3}\) nên \(\min\limits_{[0;2]}f(x)=\dfrac{7}{3}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\dfrac{7}{3}\).