Ngân hàng bài tập
S
Cho đa giác lồi \(n\) cạnh (\(n\geq3\)). Biết rằng đa giác đã cho có \(135\) đường chéo, khi đó \(n\) bằng
 | \(15\) |
 | \(27\) |
 | \(8\) |
 | \(18\) |
1 lời giải
Chọn phương án D.
Từ \(n\) đỉnh của đa giác, ta vẽ được \(\mathrm{C}_n^2\) đoạn thẳng, trong đó có \(n\) đoạn là cạnh của đa giác.
Vậy số đường chéo là \(\mathrm{C}_n^2-n\).
Theo đề bài ta có phương trình $$\begin{aligned}
\mathrm{C}_n^2-n=135\Leftrightarrow&\dfrac{n!}{2!(n-2)!}-n=135\\
\Leftrightarrow&\dfrac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}-n=135\\
\Leftrightarrow&\dfrac{n(n-1)}{2}-n=135\\
\Leftrightarrow&n^2-3n-270=0\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{ll}n=18 &(\text{nhận})\\ n=-15 &(\text{loại})\end{array}\right.
\end{aligned}$$
\mathrm{C}_n^2-n=135\Leftrightarrow&\dfrac{n!}{2!(n-2)!}-n=135\\
\Leftrightarrow&\dfrac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}-n=135\\
\Leftrightarrow&\dfrac{n(n-1)}{2}-n=135\\
\Leftrightarrow&n^2-3n-270=0\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{ll}n=18 &(\text{nhận})\\ n=-15 &(\text{loại})\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Vậy đa giác đã cho có \(18\) cạnh.