Ngân hàng bài tập
S
Phương trình \(\sin2x=-\dfrac{1}{2}\) có bao nhiêu nghiệm thõa \(0<x<\pi\)?
 | \(1\) |
 | \(3\) |
 | \(2\) |
 | \(4\) |
1 lời giải
Chọn phương án C.
\(\begin{aligned}
\sin2x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}2x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ 2x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{\pi}{12}+k\pi\\ x=\dfrac{7\pi}{12}+k\pi\end{array}\right.\,(k\in\mathbb{Z})
\end{aligned}\)
\sin2x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}2x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ 2x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{\pi}{12}+k\pi\\ x=\dfrac{7\pi}{12}+k\pi\end{array}\right.\,(k\in\mathbb{Z})
\end{aligned}\)
\(\blacksquare\) Với \(x=-\dfrac{\pi}{12}+k\pi\): $$\begin{aligned}
0<x<\pi\Leftrightarrow&0<-\dfrac{\pi}{12}+k\pi<\pi\\
\Leftrightarrow&0<-\dfrac{1}{12}+k<1\\
\Leftrightarrow&\dfrac{1}{12}<k<\dfrac{13}{12}
\end{aligned}$$Vì \(k\in\mathbb{Z}\) nên \(k=1\Rightarrow x=\dfrac{11\pi}{12}\).
\(\blacksquare\) Với \(x=\dfrac{7\pi}{12}+k\pi\): $$\begin{aligned}
0<x<\pi\Leftrightarrow&0<\dfrac{7\pi}{12}+k\pi<\pi\\
\Leftrightarrow&0<\dfrac{7}{12}+k<1\\
\Leftrightarrow&-\dfrac{7}{12}<k<\dfrac{5}{12}
\end{aligned}$$Vì \(k\in\mathbb{Z}\) nên \(k=0\Rightarrow x=\dfrac{7\pi}{12}\).
Vậy phương trình \(\sin2x=-\dfrac{1}{2}\) có \(2\) nghiệm thõa \(0<x<\pi\).