Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(2)=16\), \(\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x=4\). Tính \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf'(2x)\mathrm{\,d}x\).
 | \(I=13\) |
 | \(I=20\) |
 | \(I=12\) |
 | \(I=7\) |
Chọn phương án D.
Đặt \(t=2x\Leftrightarrow\mathrm{d}t=2\mathrm{d}x\Leftrightarrow\mathrm{d}x=\dfrac{\mathrm{d}t}{2}\).
- \(x=1\Rightarrow t=2\)
- \(x=0\Rightarrow t=0\)
Ta có \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{t}{2}f'(t)\dfrac{\mathrm{\,d}t}{2}=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_{0}^{2}tf'(t)\mathrm{\,d}t\).
Đặt \(\begin{cases}
u=t\\ v'=f'(t)
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
u'=1\\ v=f(t)
\end{cases}\)
Khi đó ta có $$\begin{aligned}
I&=\dfrac{1}{4}tf(t)\bigg|_0^2-\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(t)\mathrm{\,d}t\\
&=\dfrac{1}{4}\left(2f(2)-0f(0)\right)-\dfrac{1}{4}\cdot4\\
&=\dfrac{1}{4}\cdot2\cdot16-1=7.
\end{aligned}$$