Tính diện tích \(S\) của hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=-x^3+3x^2-2\), hai trục tọa độ và đường thẳng \(x=2\).
 | \(S=\dfrac{1}{3}\) |
 | \(S=\dfrac{19}{2}\) |
 | \(S=\dfrac{9}{2}\) |
 | \(S=\dfrac{5}{2}\) |
Chọn phương án D.
Phương trình hoành độ giao điểm $$-x^3+3x^2-2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}
x=1 &\in[0;2]\\ x=1\pm\sqrt{3} &\notin[0;2]
\end{array}\right.$$
Vậy hình phẳng \((H)\) có diện tích bằng $$\begin{aligned}
S&=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left|-x^3+3x^2-2\right|\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left|-x^3+3x^2-2\right|\mathrm{\,d}x\\
&=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(x^3-3x^2+2\right)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(-x^3+3x^2-2\right)\mathrm{\,d}x\\
&=\left(\dfrac{x^4}{4}-x^3+2x\right)\bigg|_0^1+\left(-\dfrac{x^4}{4}+x^3-2x\right)\bigg|_1^2\\
&=\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{2}.
\end{aligned}$$
