Chọn phương án A.

Điều kiện xác định: \(x^2-1>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>1\\ x<-1\end{array}\right.\)

• \(\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}=+\infty\Rightarrow x=1\) là tiệm cận đứng
• \(\lim\limits_{x\to-1^-}\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}=0\Rightarrow x=0\) không phải tiệm cận đứng
• \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}=1\Rightarrow y=1\) là tiệm cận ngang
• \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2-1}}=-1\Rightarrow y=-1\) là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số đã cho có \(3\) đường tiệm cận.