Chọn phương án C.

Ta có \(f(x)-2-m=0\Leftrightarrow f(x)=m+2\).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng \(y=m+2\) cắt đồ thị \(y=f(x)\) tại \(3\) điểm phân biệt khi $$\begin{cases}
m+2>-1\\
m+2<3
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
m>-3\\ m<1.
\end{cases}$$
Vì \(m\) nguyên nên \(m\in\{-2;-1;0\}\).

Vậy có \(3\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa đề.