Ngân hàng bài tập
Tìm hệ số của \(x^{25}y^{10}\) trong khai triển $$\left(x^3+xy\right)^{15}$$
1 lời giải
Số hạng tổng quát $$\begin{align*}
T_{k+1}&=\mathrm{C}_{15}^k\left(x^3\right)^k(xy)^{15-k}\\
&=\mathrm{C}_{15}^kx^{3k}x^{15-k}y^{15-k}\\
&=\mathrm{C}_{15}^kx^{3k+15-k}y^{15-k}\\
&=\mathrm{C}_{15}^kx^{15+2k}y^{15-k}
\end{align*}$$
T_{k+1}&=\mathrm{C}_{15}^k\left(x^3\right)^k(xy)^{15-k}\\
&=\mathrm{C}_{15}^kx^{3k}x^{15-k}y^{15-k}\\
&=\mathrm{C}_{15}^kx^{3k+15-k}y^{15-k}\\
&=\mathrm{C}_{15}^kx^{15+2k}y^{15-k}
\end{align*}$$
Theo yêu cầu đề bài, ta có $$\begin{cases}15+2k=25\\ 15-k=10\end{cases}\Leftrightarrow k=5$$Vậy hệ số cần tìm là $$\mathrm{C}_{15}^5=3003$$