a) Ta có $S\in(SMN)\cap(SAC)$ (1)
Trong $(ABC)$, gọi $E=MN\cap AC$.
Ta có $\begin{cases}E\in MN,\,MN\subset(SMN)&\Rightarrow E\in (SMN)\\ E\in AC,\,AC\subset(SAC)&\Rightarrow E\in(SAC)\end{cases}$
$\Rightarrow E\in(SMN)\cap(SAC)$ (2)
Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow(SMN)\cap(SAC)=SE$.

b) Ta có $S\in(SAN)\cap(SCM)$ (3)
Trong $(ABC)$, gọi $F=AN\cap CM$.
Ta có $\begin{cases}F\in AN,\,AN\subset(SAN)&\Rightarrow F\in(SAN)\\ F\in CM,\,CM\subset(SCM)&\Rightarrow F\in(SCM)\end{cases}$
$\Rightarrow F\in(SAN)\cap(SCM)$ (4)
Từ $(3)$ và $(4)\Rightarrow(SAN)\cap(SCM)=SF$.

c) Trong $(SAB)$, gọi $I=SM\cap AD$.
Ta có $\begin{cases}I\in SM,\,SM\subset(SMC)&\Rightarrow I\in(SMC)\\ I\in AD,\,AD\subset(ADN)&\Rightarrow I\in(ADN)\end{cases}$
$\Rightarrow I\in(SMC)\cap(ADN)$ (5)
Ta lại có $F\in(SMC)\cap(ADN)$ (6)
Từ $(5)$ và $(6)\Rightarrow IF=(SMC)\cap(ADN)$.