Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích không đổi bằng $8$m$^3$, thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, không nắp. Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là $100.000$ đồng/m$^2$, giá tôn làm thành xung quanh thùng là $50.000$ đồng/m$^2$. Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy bằng bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất?
 | $3$m |
 | $1{,}5$m |
 | $2$m |
 | $1$m |
Chọn phương án C.
Gọi $a$ là chiều dài cạnh đáy hình vuông của hình hộp chữ nhật, $b$ là chiều cao của hình hộp chữ nhật.
Khi đó ta có $V=a^2b=8\Leftrightarrow b=\dfrac{8}{a^2}$.
Diện tích đáy hình hộp là $a^2$, diện tích xung quanh là $4ab$.
Chi phí (nghìn đồng) làm thùng là
$$100a^2+50\cdot4ab=100a^2+\dfrac{1600}{a}=100\left(a^2+\dfrac{16}{a}\right)$$
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $$a^2+\dfrac{16}{a}=a^2+\dfrac{8}{a}+\dfrac{8}{a}\geq3\sqrt[3]{a^2\cdot\dfrac{8}{a}\cdot\dfrac{8}{a}}=12$$Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2$.
Vậy chi phí mua nguyên liệu nhỏ nhất khi cạnh đáy bằng $2$m.