Chọn phương án C.

\begin{align*}
&\quad\;\,2\cos^2x+5\sin x-4=0\\
&\Leftrightarrow2\left(1-\sin^2x\right)+5\sin x-4=0\\
&\Leftrightarrow 2\sin^2x-5\sin x+2=0 \\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}
\sin x=\dfrac{1}{2}\\ \sin x=2 &\text{(vô nghiệm)}
\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi.
\end{array}\right.
\end{align*}

• Với $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$: $$0\leq\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\leq2\pi\Leftrightarrow-\dfrac{1}{12}\leq k\leq\dfrac{11}{12}$$Vì $k\in\mathbb{Z}$ nên $k=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}$.
• Với $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$: $$0\leq\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\leq2\pi\Leftrightarrow-\dfrac{5}{12}\leq k\leq\dfrac{7}{12}$$Vì $k\in\mathbb{Z}$ nên $k=0\Rightarrow x=\dfrac{5\pi}{6}$.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong $[0;2\pi]$ là $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}=\pi$.