Chọn phương án D.

$\begin{aligned}
2\cos^2x+5\cos x+2=0&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}
\cos x=-2 &\text{(vô nghiệm)}\\
\cos x=-\dfrac{1}{2}
\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi,\,k\in\mathbb{Z}
\end{aligned}$

• Với $x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$: $$-\pi<\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi<3\pi\Leftrightarrow-\dfrac{5}{6}< k<\dfrac{7}{6}$$Vì $k\in\mathbb{Z}$ nên $k\in\{0;1\}$.
• Với $x=-\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$: $$-\pi<-\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi<3\pi\Leftrightarrow-\dfrac{1}{6}< k<\dfrac{11}{6}$$Vì $k\in\mathbb{Z}$ nên $k\in\{0;1\}$.

Vậy phương trình có $4$ nghiệm thỏa đề.