Chọn phương án D.

$\begin{aligned}
&\quad\;\sin^2x+\cos2x+2\cos x=0\\
&\Leftrightarrow\left(1-\cos^2x\right)+\left(2\cos^2x-1\right)+2\cos x=0\\
&\Leftrightarrow\cos^2x+2\cos x=0\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}
\cos x=0\\
\cos x=-2 &\text{(vô nghiệm)}
\end{aligned}\right.\\
&\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}
\end{aligned}$

Theo đề bài ta có $$-2\pi\leq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\leq2\pi\Leftrightarrow-\dfrac{5}{2}\leq k\leq\dfrac{3}{2}$$
Vì $k\in\mathbb{Z}$ nên $k\in\{-2;-1;0;1\}$. Do đó, $x\in \left\{-\dfrac{3\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right\}$.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là $0$.