Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Gọi \(G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\). Vì \(BCD\) là tam giác đều nên \(G\) cũng là trọng tâm.
\(\Rightarrow AG\) là trục đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\).
Trong mặt phẳng \((ABG)\), dựng đường trung trực \(\Delta\) của \(AB\), cắt \(AG\) tại O và đi qua trung điểm của \(AB\). Khi đó:
- \(O\in AG\Leftrightarrow OB=OC=OD\)
- \(O\in\Delta\Leftrightarrow OA=OB\)
Tức là \(OA=OB=OC=OD\).
Vậy điểm \(O\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều \(ABCD\).
- \(\widehat{G}=\widehat{M}=90^\circ\)
- \(\widehat{A}\) chung
\(\Rightarrow\Delta AGB\sim\Delta AMO\)
\(\Rightarrow\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{AM}{AG}\)
\(\begin{align*}
\Rightarrow AO&=\dfrac{AM\cdot AB}{AG}\\
&=\dfrac{\dfrac{a}{2}\cdot a}{\sqrt{AB^2-GB^2}}\\
&=\dfrac{\dfrac{a^2}{2}}{\sqrt{a^2-\left(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}}\\
&=\dfrac{\dfrac{a^2}{2}}{\dfrac{a\sqrt{6}}{3}}\\
&=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}
\end{align*}\)
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \(R=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\).
