Trền bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy; một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón sao cho đỉnh khối nón nằm trên mặt cầu (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài.
Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).
Viên bi hình cầu có bán kính bằng \(r_c=r=1\) nên có thể tích bằng $$V_c=\dfrac{4}{3}\pi\cdot r^2=\dfrac{4\pi}{3}$$
Vì viên bi có đường kính \(d_c=2r=2\) nên chiều cao của khối nón là $$h_n=h_0-d_c=6-2=4$$Suy ra thể tích khối nón là $$V_n=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot h_n=\dfrac{4\pi}{3}$$
Theo đó, lượng nước còn lại là $$\begin{align*}V_1&=V_0-\left(V_c+V_n\right)\\
&=6\pi-\dfrac{8\pi}{3}\\
&=\dfrac{10\pi}{3}
\end{align*}$$
Vậy tỉ số cần tìm là $$\dfrac{V_1}{V_0}=\dfrac{\dfrac{10\pi}{3}}{6\pi}=\dfrac{5}{9}$$