♥ Với \(n=1\): \(1^2=\dfrac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6}\Rightarrow\) đẳng thức đúng

♥ Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\geq1\), tức là: $$1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với \(n=k+1\), tức là chứng minh: $$\begin{align*}1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2&=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\\
&=\dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}\end{align*}$$

♥ Thật vậy:
\(\begin{align*}\text{VT}&=\underbrace{1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2}+(k+1)^2\\
&=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\\
&=(k+1)\left(\dfrac{k(2k+1)}{6}+(k+1)\right)\\
&=\dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}=\text{VP}\end{align*}\)

Vậy đẳng thức đúng với \(n=k+1\).

Suy ra đẳng thức đúng với \(\forall n\in\Bbb{N}^*\)