Bất đẳng thức đã cho tương đương với $$\begin{align*}
a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3&\geq0\\
\Leftrightarrow a^3\left(a^2-b^2\right)-b^3\left(a^2-b^2\right)&\geq0\\
\Leftrightarrow \left(a^2-b^2\right)\left(a^3-b^3\right)&\geq0\\
\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)&\geq0\\
\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)&\geq0\tag1
\end{align*}$$

Vì \(\begin{cases}a\,b>0\\ (a-b)^2\geq0\\ a^2+ab+b^2>0\end{cases}\) nên (1) đúng.
Theo đó, bất đẳng thức đã cho cũng đúng.