Ngân hàng bài tập
Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f(x)=\dfrac{(x+2)(x+8)}{x}\) trên khoảng \((0;+\infty)\).
1 lời giải
\(\begin{aligned}f(x)&=\dfrac{x^2+10x+16}{x}\\
&=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{10x}{x}+\dfrac{16}{x}\\
&=x+10+\dfrac{16}{x}.\end{aligned}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(x\) và \(\dfrac{16}{x}\) ta có $$\begin{eqnarray*}
&x+\dfrac{16}{x}&\geq2\sqrt{x\cdot\dfrac{16}{x}}\\
\Leftrightarrow&x+\dfrac{16}{x}&\geq8\\
\Leftrightarrow&x+\dfrac{16}{x}+10&\geq18\\
\Leftrightarrow&f(x)&\geq18.
\end{eqnarray*}$$
Dấu "=" xảy ra khi $$x=\dfrac{16}{x}\Leftrightarrow x^2=16\Leftrightarrow x=4\,\,(x>0).$$
Vậy \(m=18\).