a) Thể tích khối chóp

• \(SA\) là đường cao của hình chóp
• \(\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

\(\begin{align*}
V&=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA\\
&=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}\\
&=\dfrac{a^3}{4}
\end{align*}\)

b) Khoảng cách từ \(A\) đến \((SBC)\)
\(\Delta SBC\) có

• \(BC=a\)
• \(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=2a\)
• \(SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=2a\)
• Nửa chu vi \(p=\dfrac{5a}{2}\)

Nên theo công thức Heron ta có $$\begin{align*}
S_{SBC}&=\sqrt{p(p-BC)(p-SB)(p-SC)}\\
&=\sqrt{\dfrac{5a}{2}\left(\dfrac{5a}{2}-a\right)\left(\dfrac{5a}{2}-2a\right)\left(\dfrac{5a}{2}-2a\right)}\\
&=\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}
\end{align*}$$Mặt khác, vì \(V=\dfrac{1}{3}\cdot S_{SBC}\cdot d\left(A,(SBC)\right)\)
nên $$\begin{align*}
d\left(A,(SBC)\right)&=\dfrac{3V}{S_{SBC}}\\
&=\dfrac{3\cdot\dfrac{a^3}{4}}{\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}}\\
&=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}
\end{align*}$$