Đặt hình chóp $S.ABC$ vào hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A\equiv O$, $B\in Ox$, $C\in Oy$, $S\in Oz$. Xem $a=1$ đơn vị, ta có $A(0;0;0)$, $B\left(\sqrt{2};0;0\right)$, $C\left(0;\sqrt{2};0\right)$, $S\left(0;0;\sqrt{2}\right)$.

• $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(0;0;2)$
• $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\cdot\overrightarrow{AS}=2\sqrt{2}$
• $V_{S.ABC}=\dfrac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\cdot\overrightarrow{AS}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

Ta có phương trình đoạn chắn $$\begin{aligned}(SBC)\colon&\dfrac{x}{\sqrt{2}}+\dfrac{y}{\sqrt{2}}+\dfrac{z}{\sqrt{2}}=1\\ \Leftrightarrow&x+y+z-\sqrt{2}=0\end{aligned}$$Khi đó $$\mathrm{d}\left(A,(SBC)\right)=\dfrac{\left|0+0+0-\sqrt{2}\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$$

Vậy $V_{S.ABC}=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}$ và $\mathrm{d}\left(A,(SBC)\right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.

a) Ta có \(AS=AB=AC=a\sqrt{2}\).

• \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{\left(a\sqrt{2}\right)^2}{2}=a^2\)
• \(SA\) là đường cao

\(\begin{align*}
\Rightarrow V&=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA\\
&=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot a\sqrt{2}\\
&=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}
\end{align*}\)

b) Ta thấy các tam giác \(SAB,\,SAC\) và \(ABC\) đều vuông cân tại \(A\), nên $$SB=SC=BC=a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2a$$\(\Rightarrow\Delta SBC\) đều
\(\Rightarrow S_{SBC}=\dfrac{(2a)^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}\)
Gọi \(h\) là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\).
Khi đó $$\begin{align*}
V&=\dfrac{1}{3}\cdot S_{SBC}\cdot h\\
\Leftrightarrow\dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}&=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\sqrt{3}\cdot h\\
\Leftrightarrow h&=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{a^2\sqrt{3}}\\
&=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}
\end{align*}$$

a) Ta có \(AS=AB=AC=a\sqrt{2}\).

• \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{\left(a\sqrt{2}\right)^2}{2}=a^2\)
• \(SA\) là đường cao

\(\begin{align*}
\Rightarrow V&=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA\\
&=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot a\sqrt{2}\\
&=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}
\end{align*}\)

b) Ta thấy \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) và $$BC=a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2a$$Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), ta có $$\begin{cases}BC\bot AM\\ BC\bot SA\end{cases}\Rightarrow BC\bot(SAM)$$Gọi \(H\) là đường cao \(\Delta SAM\) ta có $$\begin{cases}AH\bot SM\\ AH\bot BC\end{cases}\Rightarrow AH\bot(SBC)$$\(\Rightarrow AH=d\left(A,(SBC)\right)\)
Xét tam giác vuông \(SAM\) ta có

• \(AM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{2a}{2}=a\)
• \(SM=\sqrt{SA^2+AM^2}=a\sqrt{3}\)
• \(AH=\dfrac{AS\cdot AM}{SM}=\dfrac{a\sqrt{2}\cdot a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)