Chọn phương án C.

• $f\left(0\right)=1$.
• $\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to0^+}\left(ax^2+bx+1\right)=1$.
• $\lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\to0^-}\left(ax-b-1\right)=-b-1$.

Để hàm số có đạo hàm tại $x_0=0$ thì hàm số phải liên tục tại $x_0=0$, nên
$$f\left(0\right)=\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)= \lim\limits_{x\to0^-}f\left(x\right).$$
Suy ra $-b-1=1\Leftrightarrow b=-2$.

Khi đó $f\left(x\right)=\begin{cases}ax^2-2x+1 &\text{khi }x\ge0 \\ ax+1 &\text{khi }x<0.\end{cases}$

$\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}&=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{ax^2-2x+1-1}{x}\\
&=\lim\limits_{x\to0^+}\left(ax-2\right)=-2.
\end{aligned}$

$\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}&=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{ax+1-1}{x}\\
&=\lim\limits_{x\to0^-}\left(a\right)=a.
\end{aligned}$

Hàm số có đạo hàm tại $x_0=0$ khi $a=-2$.

Vậy với $a=-2$, $b=-2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x_0=0$.

Khi đó $T=a+2b=-6$.