Ngân hàng bài tập
A
Cho \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\dfrac{2}{x^2+2x}\mathrm{\, d}x=a\ln2+b\ln3\) với \(a,\,b\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(2a+3b\) bằng
 | \(5\) |
 | \(1\) |
 | \(-1\) |
 | \(-5\) |
1 lời giải
Chọn phương án B.
\(\begin{eqnarray*}&\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{2}{x^2+2x}\mathrm{\,d}x &=\displaystyle\int\limits_1^2\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}\right)\mathrm{\,d}x\\
&&=\left(\ln|x|-\ln|x+2|\right)\bigg|_1^2\\
&&=-\ln2+\ln3.
\end{eqnarray*}\)
Theo đó \(a=-1,\,b=1\Rightarrow 2a+3b=1\).
Ta có: \(\dfrac{2}{x^2+2x}=\dfrac{2}{x(x+2)}\).
Giả sử \(\dfrac{2}{x(x+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{x(x+2)}=\dfrac{(A+B)x+2A}{x(x+2)}\)
Đồng nhất hệ số ta được $$\begin{cases}A+B&=0\\ 2A&=2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}A=1\\ B=-1.\end{cases}$$
Vậy \(\dfrac{2}{x(x+2)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}\).