Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có không quá $10$ số nguyên $x$ thỏa mãn $\left(2^{x+1}-\sqrt{2}\right)\left(2^x-y\right)< 0$?
 | $1024$ |
 | $2047$ |
 | $1022$ |
 | $1023$ |
Chọn phương án A.
Bất phương trình đã cho tương đương với $$\left(2\cdot2^x-\sqrt{2}\right)\left(2^x-y\right)<0.$$
Đặt $t=2^x>0$, bất phương trình trên trở thành $$\left(2t-\sqrt{2}\right)\left(t-y\right)<0.$$
Với $y$ nguyên dương, ta có bảng xét dấu sau:
Khi đó $\begin{cases}t>\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ t< y\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
2^x>2^{-\tfrac{1}{2}}\\ 2^x< y\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x>-\dfrac{1}{2}\\ x<\log_2y.\end{cases}$
Theo đề, có không quá $10$ số nguyên $x$ nên $x<10$, hay $\log_2y\leq10\Leftrightarrow y\leq2^{10}$.
Vì $y$ nguyên dương nên $y\in\left\{1;2;\ldots;2^{10}\right\}$.
Vậy có $1024$ số nguyên dương $y$ thỏa đề.