Chọn phương án C.

Giả sử $z=a+bi$ ($a,\,b\in\mathbb{R}$).

Ta có $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}\Leftrightarrow a^2+b^2=2$ (1).

Lại có $$\begin{aligned}
(z+2i)\left(\overline{z}-2\right)&=\left(a+(b+2)i\right)\left((a-2)-bi\right)\\
&=\left(a^2+b^2+2(b-a)\right)+2\left(a-b-2\right)i.
\end{aligned}$$
Để $(z+2i)\left(\overline{z}-2\right)$ là số thuần ảo thì $a^2+b^2+2(b-a)=0$ (2).

Từ (1) vào (2) ta được $$\begin{aligned}
\begin{cases}a^2+b^2=2\\ a^2+b^2+2(b-a)=0\end{cases}\Leftrightarrow&\begin{cases}
a^2+b^2=2\\ 2+2(b-a)=0\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}a^2+b^2=2\\ b=a-1\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}2a^2-2a-1=0\\ b=a-1.\end{cases}
\end{aligned}$$
Hệ này có $2$ nghiệm phân biệt nên có $2$ số phức $z$ thỏa đề.