Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng $45^\circ$ (tham khảo hình bên).
Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
 | $\dfrac{a^3}{8}$ |
 | $\dfrac{3a^3}{8}$ |
 | $\dfrac{\sqrt{3}a^3}{12}$ |
 | $\dfrac{a^3}{4}$ |
Chọn phương án A.
Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, $AH$ là đường cao của $\triangle SAM$.
Vì $\begin{cases}BC\perp AM\\ BC\perp SA\end{cases}$ nên $BC\perp(SAM)\Rightarrow BC\perp AH$.
Suy ra $AH\perp(SBC)$, hay $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(SBC)$.
Vậy $SH$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ trên mặt phẳng $(SBC)$.
Do đó $\left(SA,(SBC)\right)=\left(SA,SM\right)=\widehat{ASM}=45^\circ$.
Vì $\triangle SAM$ vuông tại $A$ và có góc $\widehat{ASM}=45^\circ$ nên là tam giác vuông cân tại $A$.
Vậy nên $SA=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra $V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}\cdot SA=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a^3}{8}$.