Chọn phương án A.

$\blacksquare$ Theo bảng biến thiên ta thấy $f'(x)$ là một hàm số bậc $3$ với hai điểm cực trị là $x=-3$ và $x=-1$. Do đó phương trình $\left(f'(x)\right)'=0$ có hai nghiệm là $x=-3$ và $x=-1$.

Nói cách khác $f''(x)=a(x+3)(x+1)=a\left(x^2+4x+3\right)$.

Suy ra $f'(x)=\displaystyle\int f''(x)\mathrm{\,d}x=a\left(\dfrac{x^3}{3}+2x^2+3x\right)+b$.

Vì $f'(-3)=-1$ và $f'(-1)=-\dfrac{61}{3}$ nên ta có hệ $$\begin{cases}a\left(\dfrac{(-3)^3}{3}+2\cdot(-3)^2+3\cdot(-3)\right)+b&=-1\\ a\left(\dfrac{(-1)^3}{3}+2\cdot(-1)^2+3\cdot(-1)\right)+b&=-\dfrac{61}{3}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=\dfrac{29}{2}\\ b=-1.\end{cases}$$
Vậy $f'(x)=\dfrac{29}{2}\left(\dfrac{x^3}{3}+2x^2+3x\right)-1$.

Khi đó $f'(0)=-1<0$. Kết hợp với bảng biến thiên đã cho, ta suy ra

• $f'(x)<0$ trên $(-\infty;0)$.
• $f'(x)$ đồng biến trên $(0;+\infty)$.

$\blacksquare$ Đặt $h(x)=f\left(x^3\right)-3x$. Ta có $h'(x)=3x^2\cdot f'\left(x^3\right)-3$.

Cho $h'(x)=0\Leftrightarrow f'\left(x^3\right)=\dfrac{1}{x^2}>0$ (1).

• Trên $(-\infty;0)$, vì $f'\left(x^3\right)<0$ nên (1) vô nghiệm.
• Trên $(0;+\infty)$, vì $f'\left(x^3\right)$ đồng biến, còn $\dfrac{1}{x^2}$ nghịch biến nên (1) có nghiệm $x_0$ duy nhất.

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số $g(x)=\left|h(x)\right|$ như sau:

Vậy hàm số $g(x)$ có $3$ điểm cực trị.