Chọn phương án A.

Điều kiện: $x>0$.

Đặt $y=a^{\log x}+2$. Phương trình đã cho trở thành $$y^{\log a}=x-2\Leftrightarrow x=y^{\log a}+2=a^{\log y}+2.$$
Với $a\geq2$, hàm số $f(x)=a^{\log x}+2$ đồng biến.

Vậy nên, nếu $x\geq y$ thì $a^{\log y}+2\geq a^{\log x}+2\Leftrightarrow y\geq x$. Tức là $x=y$.

Do đó $x=a^{\log x}+2>2$.

Ngoài ra $x=a^{\log x}+2=x^{\log a}+2\Leftrightarrow x-x^{\log a}=2$.

Để phương trình này có nghiệm thì $x-x^{\log a}>0\Leftrightarrow x>x^{\log a}$.

Vì $x>2$ nên suy ra $1>\log a\Leftrightarrow a<10$.

Vậy có $8$ số nguyên $a$ thỏa đề là $\{2;3;\ldots;8;9\}$.