Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;0;0)$ và đường thẳng $BC$ có phương trình là $\begin{cases} x=-t\\ y=3+t\\ z=1+t \end{cases}$. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên đường thẳng $BC$.
 | $(2;1;1)$ |
 | $(2;-1;-1)$ |
 | $(-2;1;-1)$ |
 | $(2;1;-1)$ |
Chọn phương án D.
Đường thẳng $BC$ nhận $\overrightarrow{u}=(-1;1;1)$ làm vectơ chỉ phương.
Ta có $(P)\colon-(x-2)+y+z=0\Leftrightarrow-x+y+z+2=0$ (1).
Thay $x=-t$, $y=3+t$ và $z=1+t$ vào (1) ta được $$-(-t)+(3+t)+(1+t)+2=0\Leftrightarrow t=-2$$Khi đó $\begin{cases}x=-(-2)=2\\ y=3-2=1\\ z=1-2=-1\end{cases}\Rightarrow A'(2;1;-1)$ là điểm cần tìm.
Chọn phương án D.
Đường thẳng $BC$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(-1;1;1)$.
Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên đường thẳng $BC$.
Ta có $M(-t;3+t;1+t)\Rightarrow\overrightarrow{AM}=(-t-2;3+t;1+t)$.
Vì $AM\perp BC$ nên $$\begin{aligned}
\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{u}\Leftrightarrow&\,\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0\\
\Leftrightarrow&-(-t-2)+(3+t)+(1+t)=0\\
\Leftrightarrow&\,3t+6=0\\
\Leftrightarrow&\,t=-2.
\end{aligned}$$
Khi đó $M(2;1;-1)$.