Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)\colon2x-y-2z+1=0$ và hai điểm $A(1;-1;4)$, $B(3;-3;2)$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(P)$. Tính tỉ số $t=\dfrac{KA}{KB}$.
 | $t=1$ |
 | $t=2$ |
 | $t=\dfrac{3}{2}$ |
 | $t=\dfrac{2}{3}$ |
Chọn phương án D.
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-2;-2)$. Khi đó $\overrightarrow{u}=(1;-1;-1)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC$.
Suy ra $BC\colon\begin{cases}
x=1+t\\ y=-1-t\\ z=4-t.
\end{cases}$
Thay vào phương trình $2x-y-2z+1=0$ ta được $$\begin{aligned}&\,2(1+t)-(-1-t)-2(4-t)+1=0\\ \Leftrightarrow&\,5t-4=0\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{5}.\end{aligned}$$
Vậy $\begin{cases}
x=1+\dfrac{4}{5}=\dfrac{9}{5}\\ y=-1-\dfrac{4}{5}=-\dfrac{9}{5}\\ z=4-\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{5}
\end{cases}\Rightarrow K\left(\dfrac{9}{5};-\dfrac{9}{5};\dfrac{16}{5}\right)$.
Khi đó $\overrightarrow{AK}=\left(\dfrac{4}{5};-\dfrac{4}{5};-\dfrac{4}{5}\right)$, $\overrightarrow{KB}=\left(\dfrac{6}{5};-\dfrac{6}{5};-\dfrac{6}{5}\right)$.
Ta thấy $\overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{KB}$. Do đó $\dfrac{KA}{KB}=\dfrac{2}{3}$.