Chọn phương án D.

Ta có $\overrightarrow{AC}=(0;0;1)\Rightarrow AC=1$.

Lấy điểm $D(x;y;z)$ trên tia $AB$ sao cho $AD=AC$. Khi đó, đường phân giác của góc $A$ chính là đường trung tuyến $AM$ của tam giác cân $ADC$.

Ta có $\overrightarrow{AD}=(x-1;y-1;z-1)$, $\overrightarrow{AB}=(3;-4;0)$.

Vì $AB=5$ và $\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AB}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB}$.

Khi đó $\begin{cases}
x-1&=\dfrac{3}{5}\\ y-1&=-\dfrac{4}{5}\\ z-1&=0
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
x=\dfrac{8}{5}\\ y=\dfrac{1}{5}\\ z=1.
\end{cases}$

Vậy $D\left(\dfrac{8}{5};\dfrac{1}{5};1\right)$.

Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$. Ta có $$\begin{cases}
x_M=\dfrac{\dfrac{8}{5}+1}{2}=\dfrac{13}{10}\\ y_M=\dfrac{\dfrac{1}{5}+1}{2}=\dfrac{3}{5}\\
z_M=\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2}.
\end{cases}$$
Vậy $M\left(\dfrac{13}{10};\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{2}\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(\dfrac{3}{10};-\dfrac{4}{10};\dfrac{5}{10}\right)$.

Vậy đường thẳng $AM$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(3;-4;5)$ nên có phương trình $\begin{cases}
x=1+3t\\ y=1-4t\\ z=1+5t.
\end{cases}$

Chọn $t=1$ ta có $$\begin{cases}
x=1+3=4\\ y=1-4=-3\\ z=1+5=6
\end{cases}\Rightarrow E(4;-3;6)\in AM.$$
Vậy $AM\colon\begin{cases}x=4+3t\\ y=-3-4t\\ z=6+5t.\end{cases}$