Chọn phương án B.

Phương trình hoành độ giao điểm: $$x^4-4x^2+m=0\Leftrightarrow m=4x^2-x^4\;(1)$$
Giả sử $x=\pm u$, $x=\pm v$ ($v>u>0$) lần lượt là $4$ nghiệm của phương trình $(1)$.

Theo đề bài ta có $$\displaystyle\int\limits_{-u}^{u}\left(x^4-4x^2+m\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-v}^{-u}\left(-x^4+4x^2-m\right)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{u}^{v}\left(-x^4+4x^2-m\right)\mathrm{\,d}x$$
Vì tính đối xứng của hàm chẵn nên đẳng thức trên trở thành \begin{eqnarray*}
&\displaystyle\int\limits_{0}^{u}\left(x^4-4x^2+m\right)\mathrm{\,d}x&=\displaystyle\int\limits_{u}^{v}\left(-x^4+4x^2-m\right)\mathrm{\,d}x\\
\Leftrightarrow&\left(\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{4x^3}{3}+mx\right)\bigg|_0^u&=\left(-\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{4x^3}{3}-mx\right)\bigg|_u^v\\
\Leftrightarrow&\dfrac{u^5}{5}-\dfrac{4u^3}{3}+mu&=-\dfrac{v^5}{5}+\dfrac{4v^3}{3}-mv+\dfrac{u^5}{5}-\dfrac{4u^3}{3}+mu\\
\Leftrightarrow&\dfrac{v^5}{5}-\dfrac{4v^3}{3}+mv&=0\\
\Leftrightarrow&v\left(\dfrac{v^4}{5}-\dfrac{4v^2}{3}+m\right)&=0\\
\Leftrightarrow&\dfrac{v^4}{5}-\dfrac{4v^2}{3}+m&=0\\
\Leftrightarrow&m&=-\dfrac{v^4}{5}+\dfrac{4v^2}{3}\;(2)
\end{eqnarray*}

Vì $x=v$ là một nghiệm của phương trình $(1)$ nên ta có $m=4v^2-v^4$ (3).

Từ (2) và (3) ta có phương trình $$\begin{aligned}
&-\dfrac{v^4}{5}+\dfrac{4v^2}{3}=4v^2-v^4\\
\Leftrightarrow&\,\dfrac{4v^4}{5}-\dfrac{8v^2}{3}=0\\
\Leftrightarrow&\,v^2\left(\dfrac{4v^2}{5}-\dfrac{8}{3}\right)=0\\
\Leftrightarrow&\,\dfrac{4v^2}{5}-\dfrac{8}{3}=0\\
\Leftrightarrow&\,v^2=\dfrac{10}{3}.
\end{aligned}$$
Thay $v^2=\dfrac{10}{3}$ vào $(2)$ ta được $m=\dfrac{20}{9}$.

Vậy $\begin{cases}
a=20\\ b=9
\end{cases}\Rightarrow a+2b=20+2\cdot9=38$.