Chọn phương án A.

Đặt $A=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}(3x-1)\mathrm{e}^{\tfrac{x}{2}}\mathrm{\,d}x$, ta có $$A=a+b\mathrm{e}\Leftrightarrow a=A-b\mathrm{e}$$

Vì $a,\,b$ là các số nguyên nên ta khảo sát hàm số $f(x)=A-\mathrm{e}x$ với $x\in\mathbb{Z}$ bằng chức năng TABLE của máy tính cầm tay, cụ thể như sau:

1. Gán giá trị $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}(3x-1)\mathrm{e}^{\tfrac{x}{2}}\mathrm{\,d}x$ vào biến nhớ A.
   
   
2. Nhập hàm số $f(x)=A-\mathrm{e}x$.
   
   
3. Chọn Start=-10, End=10 và Step=1.
   
   
4. Tìm giá trị $x$ sao cho $f(x)$ là số nguyên.
   
   

Vậy $b=x=14$ và $a=f(x)=-2$. Do đó, $a+b=12$.

Chọn phương án A.

Đặt $\begin{cases}
u=3x-1\\ v'=\mathrm{e}^{\tfrac{x}{2}}
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
u'=3\\ v=2\mathrm{e}^{\tfrac{x}{2}}.
\end{cases}$

Khi đó $$\begin{aligned}
\displaystyle\int\limits_{0}^{2}(3x-1)\mathrm{e}^{\tfrac{x}{2}}\mathrm{\,d}x&=2(3x-1)\mathrm{e}^{\tfrac{x}{2}}\bigg|_0^2-\displaystyle\int\limits_{0}^{2}6\mathrm{e}^{\tfrac{x}{2}}\mathrm{\,d}x\\
&=\left(10\mathrm{e}+2\right)-12\mathrm{e}^{\tfrac{x}{2}}\bigg|_0^2\\
&=\left(10\mathrm{e}+2\right)-12\left(\mathrm{e}-1\right)\\
&=14-2\mathrm{e}.
\end{aligned}$$