Cho hình phẳng $\mathscr{D}$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x-x^2$ và trục $Ox$. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\mathscr{D}$ quanh trục $Ox$ bằng
$\dfrac{256\pi}{15}$ | |
$\dfrac{64\pi}{15}$ | |
$\dfrac{16\pi}{15}$ | |
$\dfrac{4\pi}{3}$ |
Chọn phương án C.
Phương trình hoành độ giao điểm: $$2x-x^2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=0\\ x=2.
\end{array}\right.$$
Vậy ta có $$\begin{aligned}V&=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(2x-x^2\right)^2\mathrm{\,d}x\\ &=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(x^4-4x^3+4x^2\right)\mathrm{\,d}x\\ &=\pi\left(\dfrac{x^5}{5}-x^4+\dfrac{4x^3}{3}\right)\bigg|_0^2=\dfrac{16\pi}{15}.\end{aligned}$$