Chọn phương án C.

Ta có $d\colon\begin{cases}
x=t\\ y=t\\ z=-2t
\end{cases}$ và $\overrightarrow{n}=(1;-1;-1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$.

• Vì $M\in d$ nên $M\left(t;t;-2t\right)$.
• Vì $N\in d'$ nên $N\left(-1-2t';t';-1-t'\right)$.

Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(-1-2t'-t;t'-t;-1-t'+2t\right)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Vì $\Delta\parallel(P)$ nên $$\begin{aligned}
\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{MN}\Leftrightarrow&\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{MN}=0\\
\Leftrightarrow&\left(-1-2t'-t\right)-\left(t'-t\right)-\left(-1-t'+2t\right)=0\\
\Leftrightarrow&t'=-t.
\end{aligned}$$
Suy ra $\overrightarrow{MN}=(t-1;-2t;3t-1)$.

Mà $MN=\sqrt{2}$ nên $$\begin{aligned}
&\sqrt{(t-1)^2+(-2t)^2+(3t-1)^2}=\sqrt{2}\\
\Leftrightarrow&(t-1)^2+(-2t)^2+(3t-1)^2=2\\
\Leftrightarrow&14t^2-8t=0\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}
t=0\\ t=\dfrac{4}{7}
\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow&\left[\begin{array}{ll}
M(0;0;0) &\text{(loại)}\\ M\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{4}{7};-\dfrac{8}{7}\right).
\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Với $t=\dfrac{4}{7}$ ta có $\overrightarrow{MN}=\left(-\dfrac{3}{7};-\dfrac{8}{7};\dfrac{5}{7}\right)$.
Suy ra $\overrightarrow{u}=(3;8;-5)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Do đó, $\Delta\colon\begin{cases}
x=\dfrac{4}{7}+3t\\ y=\dfrac{4}{7}+8t\\ z=-\dfrac{8}{7}-5t.
\end{cases}$

Với $t=-\dfrac{1}{21}$ ta có $\begin{cases}
x=\dfrac{1}{7}\\ y=-\dfrac{4}{7}\\ z=-\dfrac{3}{7}
\end{cases}$.

Vậy $\Delta\colon\begin{cases}x=\dfrac{1}{7}+3t\\ y=-\dfrac{4}{7}+8t\\ z=-\dfrac{3}{7}-5t.\end{cases}$