Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[1;2]$. Biết $f(2)=a$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}(x-1)f'(x)\mathrm{\,d}x=b$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x$ có giá trị bằng
 | $a-b$ |
 | $b-a$ |
 | $a+b$ |
 | $-a-b$ |
Chọn phương án A.
Đặt $\begin{cases}
u=x-1\\
v'=f'(x)
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
u'=1\\
v=f(x).
\end{cases}$
Khi đó ta có
\begin{eqnarray*}
&\displaystyle\int\limits_{1}^{2}(x-1)f'(x)\mathrm{\,d}x&=b\\
\Leftrightarrow&(x-1)f(x)\bigg|_1^2-\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x&=b\\
\Leftrightarrow&(2-1)f(2)-(1-1)f(1)-b&=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x\\
\Leftrightarrow&f(2)-b&=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x\\
\Leftrightarrow&a-b&=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x.
\end{eqnarray*}