Chọn phương án D.

Giả sử $z=a+bi\Rightarrow A(a;b)$.

Ta có $w=(1+i)z=(a-b)+(a+b)i\Rightarrow B(a-b;a+b)$.

$\begin{aligned}
\cos\widehat{AOB}&=\cos\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)\\
&=\dfrac{a(a-b)+b(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{(a-b)^2+(a+b)^2}}\\
&=\dfrac{a^2+b^2}{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
\Rightarrow\widehat{AOB}&=45^\circ.
\end{aligned}$

Theo đề bài ta có $S_{OAB}=8$, do đó
\begin{eqnarray*}
&\dfrac{1}{2}OA\cdot OB\cdot\sin\widehat{AOB}&=8\\
\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}&=8\\
\Leftrightarrow&a^2+b^2&=16.
\end{eqnarray*}
Lại vì $w-z=(a-b)+(a+b)i-(a+bi)=-b+ai$ nên $$\left|w-z\right|=\sqrt{(-b)^2+a^2}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16}=4.$$