a) Đặt $g(x)=f(x)-f(x+1)$.

• Nếu $f(0)=f(1)$ thì $g(0)=f(0)-f(1)=0$, tức là $x=0$ là một nghiệm của phương trình $g(x)=0$.
• Nếu $f(0)\neq f(1)$, ta có $$\begin{aligned}g(0)\cdot g(1)&=\left[f(0)-f(1)\right]\cdot\left[f(1)-f(2)\right]\\ &=\left[f(0)-f(1)\right]\cdot\left[f(1)-f(0)\right]\\ &=-\left[f(0)-f(1)\right]^2<0\end{aligned}$$Suy ra phương trình $g(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trên đoạn $[0;1]$.

b) Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến cần tìm.

Vì $\Delta$ cùng với hai trục $Ox$, $Oy$ tạo thành một tam giác vuông cân nên $\Delta$ hợp với trục $Ox$ một góc $45^\circ$ hoặc $-45^\circ$, tức là $\Delta$ có hệ số góc $k=\pm1$.

Ta có $y'=\dfrac{1\cdot1-2\cdot1}{(x+1)^2}=\dfrac{-1}{(x+1)^2}<0$, $\forall x\neq-1$.

Do đó $\Delta$ có hệ số góc $k=-1$.

Khi đó $\dfrac{-1}{(x+1)^2}=-1\Leftrightarrow(x+1)^2=1\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2.\end{array}\right.$

• $x=0\Rightarrow y=2$:
  $\Rightarrow\Delta\colon y=-(x-0)+2=-x+2$.
• $x=-2\Rightarrow y=0$:
  $\Rightarrow\Delta\colon y=-(x+2)+0=-x-2$.