Theo đề bài ta có $$\begin{aligned}u_{n+1}=2u_n+3&\Leftrightarrow u_{n+1}+3=2u_n+6\\ &\Leftrightarrow u_{n+1}+3=2\left(u_n+3\right)\;(1)\end{aligned}$$
Đặt $v_n=u_n+3$. Ta có $\begin{cases}v_{n+1}=u_{n+1}+3\\ v_1=u_1+3=4.\end{cases}$

Khi đó $(1)\Leftrightarrow v_{n+1}=2v_n$.

Vậy $\left(v_n\right)$ là một cấp số nhân với công bội $q=2$ và $v_1=4$.
Suy ra $$\begin{aligned}v_n=4\cdot2^{n-1}&\Leftrightarrow u_n+3=4\cdot2^{n-1}\\ &\Leftrightarrow u_n=2^2\cdot2^{n-1}-3=2^{n+1}-3.\end{aligned}$$