Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(0;+\infty)$ thỏa mãn $f(x)=\dfrac{1}{x}+\displaystyle\int\limits_{1}^{2}xf(x)\mathrm{\,d}x$, $\forall x\in(0;+\infty)$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}f(x)\mathrm{\,d}x$.
 | $\dfrac{5-2\mathrm{e}}{3}$ |
 | $3-2\mathrm{e}$ |
 | $2+2\mathrm{e}$ |
 | $1-2\mathrm{e}$ |
Chọn phương án B.
Đặt $m=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}xf(x)\mathrm{\,d}x$. Ta có $f(x)=\dfrac{1}{x}+m$. Khi đó $$\begin{aligned}
m&=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}xf(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}x\left(\dfrac{1}{x}+m\right)\mathrm{\,d}x\\
&=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}(1+mx)\mathrm{\,d}x=\left(x+\dfrac{mx^2}{2}\right)\bigg|_1^2\\
&=1+\dfrac{3m}{2}.\\
\Leftrightarrow-\dfrac{m}{2}&=1\Leftrightarrow m=-2.
\end{aligned}$$
Vậy $f(x)=\dfrac{1}{x}-2$. Suy ra $$\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\left(\dfrac{1}{x}-2\right)\mathrm{\,d}x=3-2\mathrm{e}.$$