Chọn phương án D.

Điều kiện xác định: $$\begin{cases}
4x>0\\ 2-\log(4x)\geq0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x>0\\ x\leq25.
\end{cases}$$
Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho trở thành
$$\begin{aligned}
4^x-5.2^{x+2}+64\geq0&\Leftrightarrow\left(2^x\right)^2-20.2^x+64\geq0\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2^x\geq16\\ 2^x\leq4\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\geq4\\ x\leq2\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Kết hợp với điều kiện ta có $x\in(0;2]\cup[4;25]$.

Vậy có $24$ số nguyên thỏa đề là $x\in\{1;2\}\cup\{4;5;\ldots;25\}$.