Chọn phương án B.

Ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.

Không mất tính tổng quát, cho $a=1$ ta được $A(-2;0;0)$, $C(2;0;0)$, $B(0;-2;0)$, $D(0;2;0)$, $S(0;0;s)$. Khi đó

• $\overrightarrow{AB}=(2;-2;0)$, $\overrightarrow{AS}=(2;0;s)$
• $\overrightarrow{CD}=(-2;2;0)$, $\overrightarrow{CS}=(-2;0;s)$
• $\left[\overrightarrow{AS},\overrightarrow{AB}\right]=(2s;2s;-4)$
• $\left[\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CS}\right]=(2s;2s;4)$

Theo đó, $\overrightarrow{m}=(s;s;-2)$ và $\overrightarrow{n}=(s;s;2)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$.

Vì $(SAB)$ và $(SCD)$ vuông góc với nhau nên $$\begin{aligned}\overrightarrow{m}\perp\overrightarrow{n}&\Leftrightarrow\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=0\\ &\Leftrightarrow2s^2-4=0\Leftrightarrow s=\sqrt{2}.\end{aligned}$$
Vậy hình chóp đã cho có

• Cạnh đáy $AB=\sqrt{2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}$.
• Đường cao $OS=\sqrt{2}$

Vậy khối chóp $S.ABCD$ có thể tích bằng $$V=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=\dfrac{1}{3}\cdot\left(2a\sqrt{2}\right)^2\cdot a\sqrt{2}=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}a^3.$$

Chọn phương án B.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên có $AB=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=2a\sqrt{2}$.

Giả sử $\Delta$ là giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$, khi đó $\Delta$ đi qua $S$ và song song với $AB$.

Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,CD$. Vì $\triangle SAB$ và $\triangle SCD$ cân tại $S$ nên $SM\perp AB$, $SN\perp CD$. Suy ra $SM\perp\Delta$ và $SN\perp\Delta$.

Do đó $\left((SAB),(SCD)\right)=(SM,SN)=\widehat{MSN}=90^\circ$.

Lại vì $SM=SN$ nên $\triangle SMN$ vuông cân tại $S$.

Khi đó, với $O$ là tâm của $ABCD$ thì $$SO=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}.$$
Vậy khối chóp $S.ABCD$ có thể tích bằng $$V=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=\dfrac{1}{3}\cdot\left(2a\sqrt{2}\right)^2\cdot a\sqrt{2}=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}a^3.$$