Chọn phương án D.

Ta có $\Delta'=(-m)^2-(8m-12)=m^2-8m+12$.

Trên tập hợp các số phức, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $z_1,\,z_2$ nên ta có hai trường hợp sau:

• $\Delta'>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m<2\\ m>6\end{array}\right.$
  $\begin{aligned}\left|z_1\right|=\left|z_2\right|&\Leftrightarrow z_1=-z_2\Leftrightarrow z_1+z_2=0\\ &\Leftrightarrow-\dfrac{-2m}{1}=0\Leftrightarrow m=0\;(\text{(nhận)})\end{aligned}$
• $\Delta<0\Leftrightarrow\begin{cases}m>2\\ m<6\end{cases}$
  Phương trình luôn có $2$ nghiệm phức phân biệt $z_1,\,z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$

Vậy có $4$ giá trị nguyên của $m$ thỏa đề là $\{0;3;4;5\}$.