Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x-4)^2+(y+3)^2+(z+6)^2=50$ và đường thẳng $d\colon\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc trục hoành, với hoành độ là số nguyên, mà từ $M$ kẻ được đến $(S)$ hai tiếp tuyến cùng vuông góc với $d$?
 | $29$ |
 | $33$ |
 | $55$ |
 | $28$ |
Chọn phương án D.
- Nếu $(P)$ không cắt $(S)$ thì không có tiếp tuyến thỏa đề.
- Nếu $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ thì có duy nhất một tiếp tuyến thỏa đề.
- Nếu $(P)$ cắt $(S)$ với thiết diện là đường tròn $(\mathscr{C})$ thì tiếp tuyến cần tìm chính là tiếp tuyến với $(\mathscr{C})$ đi qua $M$.
Vậy yêu cầu bài toán trở thành việc tìm mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $d$ sao cho $(P)$ cắt $(S)$ với thiết diện là một đường tròn, đồng thời cắt trục $Ox$ tại điểm $M$ nằm ngoài $(S)$.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4;-3;-6)$ và bán kính $R=5\sqrt{2}$.
Gọi $(P)$ là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $d$, ta có $$(P)\colon2x+4y-z+c\quad(c\neq\mathbb{R})$$
Giả sử $(P)$ cắt $Ox$ tại điểm $M(a;0;0)$ với $a\in\mathbb{Z}$, khi đó $$2a+4\cdot0-0+c=0\Leftrightarrow c=-2a$$
Vậy $(P)\colon2x+4y-z-2a$.
Để kẻ được từ $M$ đến $(S)$ hai tiếp tuyến cùng vuông góc với $d$ thì
$\begin{aligned}
\blacksquare\,\mathrm{d}\left(I,(P)\right)<R&\Leftrightarrow\dfrac{\left|2\cdot4+4\cdot(-3)-(-6)-2a\right|}{\sqrt{2^2+4^2+(-1)^2}}<5\sqrt{2}\\
&\Leftrightarrow|4-2a|<5\sqrt{42}\\
&\Leftrightarrow|2a-4|<5\sqrt{42}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
2a-4<5\sqrt{42}\\
2a-4>-5\sqrt{42}
\end{cases}\\
&\Leftrightarrow\begin{cases}
a<2+\dfrac{5\sqrt{42}}{2}\approx18,2\\
a>2-\dfrac{5\sqrt{42}}{2}\approx-14,2
\end{cases}\quad(1)
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\blacksquare\,IM>R&\Leftrightarrow\sqrt{(a-4)^2+(0+3)^2+(0+6)^2}>5\sqrt{2}\\
&\Leftrightarrow(a-4)^2>50\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a-4>5\sqrt{2}\\ a-4<-5\sqrt{2}\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a>4+5\sqrt{2}\approx6,2\\ a<4-4+5\sqrt{2}\approx1,76\end{array}\right.\quad(2)
\end{aligned}$
Từ (1) và (2) suy ra $a\in\{-14;\ldots;0;1;7;\ldots;18\}$.
Vậy có $28$ điểm $M$ thỏa đề.