Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha)\colon2x+2y-z-6=0$. Gọi mặt phẳng $(\beta)\colon x+y+cz+d=0$ không qua $O$, song song với mặt phẳng $(\alpha)$ và $\mathrm{d}\left((\alpha),(\beta)\right)=2$. Tính $c\cdot d$?
 | $cd=3$ |
 | $cd=0$ |
 | $cd=12$ |
 | $cd=6$ |
Chọn phương án A.
Vì $(\beta)\parallel(\alpha)$ nên $\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{c}{-1}\neq\dfrac{d}{-6}$. Suy ra $c=-\dfrac{1}{2}$ và $d\neq-3$.
Ta thấy điểm $M(-d;0;0)\in(\beta)$. Do đó $$\begin{aligned}
\mathrm{d}\left(M,(\alpha)\right)=\mathrm{d}\left((\beta),(\alpha)\right)=2&\Leftrightarrow\dfrac{\left|-2d-6\right|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}=2\\
&\Leftrightarrow|2d+6|=6\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2d+6=6\\ 2d+6=-6\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}d=0 &\text{(loại)}\\ d=-6 &\text{(nhận)}\end{array}\right.
\end{aligned}$$
Khi đó $c\cdot d=-\dfrac{1}{2}\cdot(-6)=3$.