Ngân hàng bài tập
A
Trong không gian $Oxyz$, cho $(S)\colon x^2+y^2+z^2-4x-2y+10z-14=0$. Mặt phẳng $(P)\colon-x+4z+5=0$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn $(\mathscr{C})$. Tọa độ tâm $H$ của $(\mathscr{C})$ là
 | $H(1;1;-1)$ |
 | $H(-3;1;-2)$ |
 | $H(9;1;1)$ |
 | $H(-7;1;-3)$ |
1 lời giải
Chọn phương án A.
- Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;-5)$.
- Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(-1;0;4)$.
Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với $(P)$. Khi đó, $H$ chính là giao điểm của $\Delta$ với $(P)$.
Ta có $\Delta\colon\begin{cases}
x=2-t\\ y=1\\ z=-5+4t
\end{cases}$. Thay vào $(P)$ ta được $$-(2-t)+4(-5+4t)+5=0\Leftrightarrow t=1.$$
Suy ra $\begin{cases}
x=2-1=1\\ y=1\\ z=-5+4\cdot1=-1
\end{cases}$. Vậy $H(1;1;-1)$ là điểm cần tìm.