Chọn phương án C.

Ta có $f'(x)=a(x+6)(x-2)=ax^2+4ax-12a$.

Suy ra $f(x)=\dfrac{a}{3}x^3+2ax^2-12ax+c$. Theo đề bài thì $-12a=-36\Rightarrow a=3$.

Chọn $c=0$ ta có $\begin{cases}
f(x)=x^3+6x^2-36x+c\\ f'(x)=3x^2+12x-36.
\end{cases}$

Vì $g(x)$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nên $g(x)=-32x+24$.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi $f(x)$ và $g(x)$ bằng $$\displaystyle\int\limits_{-6}^{2}\left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-6}^{2}\left|x^3+6x^2-4x-24\right|\mathrm{\,d}x=128.$$

Chọn phương án C.

Ta có $f'(x)=3ax^2+2bx-36$. Vì $-6$ và $2$ là hai điểm cực trị của $f(x)$ nên $$\begin{cases}
0=3a\cdot(-6)^2+2b\cdot(-6)-36\\
0=3a\cdot2^2+2b\cdot2^2-36
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
108a-12b=36\\ 12a+8b=36
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
a=1\\ b=6.
\end{cases}$$
Vậy $f(x)=x^3+6x^2-36x+c$.

Vì $f(x)$ và $g(x)=mx+n$ có hoành độ giao điểm là $-6$ và $2$ nên $$\begin{cases}
(-6)^3+6\cdot(-6)^2-36\cdot(-6)+c&=m\cdot(-6)+n\\
2^3+6\cdot2^2-36\cdot2+c&=m\cdot2+n
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
216+c=-6m+n\quad(1)\\ -40+c=2m+n\quad(2)
\end{cases}$$
Lấy (2) trừ (1) ta được $8m=-256\Leftrightarrow m=-32$.

Thay vào (2) ta được $-40+c=-64+n\Leftrightarrow c-n=-24$.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi $f(x)$ và $g(x)$ bằng $$\displaystyle\int\limits_{-6}^{2}\left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-6}^{2}\left|x^3+6x^2-4x-24\right|\mathrm{\,d}x=128.$$